パラドックスその２

円と、内接する三角形があります。
この円にランダムに弦を1つ引くとき、その長さが三角形の1辺よりも長くなる確率はいくらでしょう？

(1)

水平な弦だけで考えると、内接三角形と、それを垂直反転した三角形の底辺の間は三角形の円よりも長い。
縦方向の分布＋回転によって全ての弦の向きを表現できるので、確率は(オレンジ部分の幅)/(円の直径)＝

(2)

ある1点から弧に引いた線を考える。点の位置を変えれば全ての場合を表現できるので、一般性は失われない。
頂点から、対辺を弦とする短い方の弧に線を引いたときに三角形の辺より長くなり、弧は三角形により三等分されているので確率は

(3)

内接三角形の内接円を描いたとき、ランダムに引いた弦の中点がその内側にあれば良い。
内接円の半径は外接円の半径の半分、つまり面積はであるから、求める確率も

さて、3つとも違うのは何故でしょう？