行列式と逆行列 - 天球日記+

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3×3の行列で行列式
$\| \begin{array}{ccc} a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ \end{array} \|$ 　を求めるときは
サルスの方法で
$a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 - a_2b_1c_3 - a_1b_3c_2$ 　とするか
余因子展開して
$a_1 \| \begin{array}{ccc} b_2& b_3 \\ c_2& c_3 \\ \end{array} \| - a_2 \| \begin{array}{ccc} b_1& b_3 \\ c_1& c_3 \\ \end{array} \| + a_3 \| \begin{array}{ccc} b_1& b_2 \\ c_1& c_2 \\ \end{array} \|$ 　とすれば求められるが、サルスの方法は式を覚えるのが面倒だし、余因子展開は2番目をマイナスにするのを忘れたりしてどうも使いにくい。
そこでで視覚的に編み出したのがこれ。

慣れれば計算間違いをしにくいのがポイント。まぁ勘違いのしやすさで言うと余因子展開とあまり変わりはない気もする。

逆行列を求めるのはさらにめんどい。
一般的には正則行列Aに対して拡大係数行列　 $[ A|E ]$ 　から掃き出し法でAを簡約化してやれば　 $[ E|A^{-1} ]$ 　となるが、2次と3次の場合は公式を使っても許容できる計算量だからなんとかなったりする。
とはいえ3次の場合は計算量はともかく公式を暗記するのがかなり大変で、
$A^{-1} = \frac{1}{\det A} [ \begin{array}{ccc} b_2c_3 - b_3c_2 & c_2a_3 - c_3a_2 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 & c_3a_1 - c_1a_3 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 & c_1a_2 - c_2a_1 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{array} ]$
となる。よく見ると対角成分さえ余因子展開っぽく求めてしまえば、あとは列に沿って添え字を増やしていけばいいような気もする。
ちなみに逆行列は余因子行列 $\tilde{A}$ を使って
$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A}$ 　と書けるが、この余因子行列の転置行列 $(\tilde{A})^T$ を視覚的に求めることができる。

こんな風にして行ごとに求めて転置すれば余因子行列の出来上がり。

ちなみにA=(x,y,z)に対して　 $rot A = \nabla \times A$ 　を求めるときも行列式を使えば簡単で
$\| \begin{array}{ccc} \vec{u}_x& \vec{u}_y& \vec{u}_z\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ x& y& z\\ \end{array} \|$ 　とすれば計算が楽。
余因子展開するとさらに分かりやすいかもしれない。
$\vec{u}_x \| \begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ y& z \\ \end{array} \| - \vec{u}_y \| \begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial z} \\ x& z \\ \end{array} \| + \vec{u}_z \| \begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} \\ x& y \\ \end{array} \|$ 　